MANTIK: DOĞRU DÜŞÜNMENİN MATEMATİĞİ
9.1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler
Matematikte “Mantık”, günlük hayatta kullandığımız dilin kurallara bağlanmış halidir. Hangi cümlenin kesin bir yargı bildirdiğini, hangilerinin birbirine denk olduğunu anlamak için bu bölümü inceleriz. Modern mantığın temelleri George Boole ve Gottfried Leibniz gibi bilim insanlarının çalışmalarıyla atılmıştır. Boole, mantığı cebirsel işlemlere dönüştürerek bugünkü bilgisayar teknolojisinin temelini oluşturmuştur.
Bu bölümde, günlük dili matematiksel sembollere çevirmeyi ve doğru çıkarımlar yapmayı öğreneceğiz.
1. ÖNERME VE DOĞRULUK DEĞERİ
Önerme Nedir?
Kesin olarak doğru veya yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Soru cümleleri, ünlemler veya emir cümleleri önerme değildir.
- Örnek: “Ankara Türkiye’nin başkentidir.” (Önermedir, Doğruluk Değeri: 1)
- Örnek: “Bugün hava çok güzel!” (Önerme değildir, kişisel yargı içerir.)
- Örnek: “x + 2 = 5” (Önerme değildir, x bilinmez. Buna Açık Önerme denir.)
Gösterim:
Önermeler genellikle p, q, r, s gibi harflerle gösterilir.
- Doğru önermenin doğruluk değeri: 1
- Yanlış önermenin doğruluk değeri: 0
Önermenin Değili (Negatifi):
Bir önermenin hükmünün tersine çevrilmesidir. p önermesinin değili p' (veya \sim p) ile gösterilir.
- p \equiv 1 ise p' \equiv 0’dır.
- p \equiv 0 ise p' \equiv 1’dir.
- Kural: (p')' \equiv p (Değilin değili kendisine eşittir.)
2. BİLEŞİK ÖNERMELER
Birden fazla önermenin “ve”, “veya”, “ya da” gibi bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşan yeni önermelere bileşik önerme denir.
A) Bağlaçlar ve Doğruluk Tabloları
| p | q | VE (p \wedge q) | VEYA (p \vee q) | YA DA (p \underline{\vee} q) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
- Ve (\wedge): Her iki önerme de doğruysa sonuç doğrudur. (Çarpma işlemi gibi düşünebiliriz).
- Veya (\vee): En az biri doğruysa sonuç doğrudur. (Toplama işlemi gibi, 1+0=1, 1+1=1).
- Ya da (\underline{\vee}): Sadece biri doğruysa sonuç doğrudur. İkisi de aynıysa (ikisi de 1 veya ikisi de 0) sonuç yanlıştır.
B) De Morgan Kuralları
Bileşik önermelerin değili alınırken bağlaçlar değişir ve içerideki her önermenin değili alınır. Bu kural hayat kurtarır:
- (p \wedge q)' \equiv p' \vee q'
- “Ali ve Veli geldi” cümlesinin olumsuzu: “Ali gelmedi veya Veli gelmedi.”
- (p \vee q)' \equiv p' \wedge q'
- “Ali veya Veli geldi” cümlesinin olumsuzu: “Ali gelmedi ve Veli gelmedi.”
3. KOŞULLU ÖNERMELER
Tanım: “p ise q” biçimindeki önermelere koşullu önerme denir. p \Rightarrow q şeklinde gösterilir.
- p: Hipotez (Ön koşul)
- q: Hüküm (Sonuç)
Doğruluk Durumu:
p \Rightarrow q önermesi sadece bir durumda yanlıştır (0): p doğru (1), q yanlış (0) iken. Diğer tüm durumlarda doğrudur.
- Önemli Denklik: p \Rightarrow q \equiv p' \vee q
- TYT İpucu: “İse” gördüğünüzde aklınıza hemen “Birincinin değili veya ikincisi” gelsin.
A) Koşullu Önermenin Çeşitleri
p \Rightarrow q önermesi verildiğinde:
- Karşıtı: q \Rightarrow p (Yer değişir)
- Tersi: p' \Rightarrow q' (Her ikisinin değili alınır)
- Karşıt Tersi: q' \Rightarrow p' (Hem yer değişir hem değili alınır)
Kritik Bilgi: Bir önerme, kendi Karşıt Tersi ile daima denktir.
B) İki Yönlü Koşullu Önerme
“p ancak ve ancak q ise” biçimindeki önermelerdir. p \Leftrightarrow q ile gösterilir.
- Anlamı: p doğruysa q doğrudur, q doğruysa p doğrudur.
- Denklik: p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)
- Doğruluk Değeri: p ve q’nun doğruluk değerleri aynıysa (1-1 veya 0-0) sonuç 1’dir. Farklıysa 0’dır.
- Matematikte buna Gerek ve Yeter Şart denir.
C) Sadeleştirme
En fazla 3 önerme ve 4 bileşenli karmaşık ifadelerde, yukarıdaki denklikler (p \Rightarrow q \equiv p' \vee q ve De Morgan) kullanılarak ifade en sade haline getirilir.
- Örnek: (p \Rightarrow q) \wedge p ifadesi q’ya denktir. (Modus Ponens kuralı).
4. NİCELEYİCİLER (HER VE BAZI)
Açık önermeleri (içinde bilinmeyen olan cümleleri) kesin yargıya dönüştürmek için niceleyiciler kullanılır.
- Her (\forall): Evrensel niceleyici. “Bütün”, “Her” anlamındadır.
- Sembolik: \forall x, p(x)
- Sözel: “Her x sayısı için…”
- Bazı (\exists): Varlıksal niceleyici. “En az bir”, “Bazı”, “Var” anlamındadır.
- Sembolik: \exists x, p(x)
- Sözel: “Bazı x sayıları için…”
Niceleyicilerin Değili:
Bir önermenin değili alınırken niceleyici değişir ve yüklem negatife döner.
- (\forall x, p(x))' \equiv \exists x, p'(x)
- “Her öğrenci derste” cümlesinin olumsuzu: “Bazı öğrenciler derste değildir.” (Hiçbiri değil değildir!)
- (\exists x, p(x))' \equiv \forall x, p'(x)
- “Bazı kuşlar uçar” cümlesinin olumsuzu: “Her kuş uçamaz.”
5. MATEMATİKSEL YAPI: TANIM, AKSİYOM, TEOREM
Matematiğin dili bu dört kavram üzerine kuruludur:
- Tanım: Bir kavramın ne olduğunun herkes tarafından kabul edilen açıklamasıdır. İspat gerektirmez.
- Örnek: “Dört kenarı eşit olan dikdörtgene kare denir.”
- Aksiyom: Doğruluğu ispat gerektirmeden kabul edilen önermelerdir.
- Örnek: “İki noktadan yalnız bir doğru geçer.”
- Teorem: Doğruluğu ispatlanması gereken önermelerdir.
- Hipotez: Teoremin başlangıç varsayımı (p).
- Hüküm: Teoremin ulaştığı sonuç (q).
- Biçim: p \Rightarrow q (Hipotez \Rightarrow Hüküm)
- İspat: Bir teoremin doğruluğunu mantık kurallarına dayanarak gösterme işlemidir.
ÖZET VE TYT İPUÇLARI
- Önerme: Kesin hüküm içermeli. Soru ve ünlem önerme değildir.
- Değil: 1 ise 0, 0 ise 1 olur. (p')' = p.
- Ve (\wedge): Hepsi 1 olmalı.
- Veya (\vee): Biri 1 olsa yeter.
- İse (\Rightarrow): Sadece 1 \Rightarrow 0 yanlıştır. Gerisi doğru.
- Pratik Yol: p \Rightarrow q gördün mü? Hemen p' \vee q yap.
- Ancak ve Ancak (\Leftrightarrow): İkisi de aynı olmalı (1-1 veya 0-0).
- De Morgan: Bağlaç değişir, içerisi patlar (değilini alır).
- Niceleyici: "Her"in değili "Bazı … değildir"dir. "Bazı"nın değili "Her … değildir"dir.
Bu kurallar, TYT’de karşınıza çıkacak mantık sorularının %95’ini çözmeniz için yeterlidir. Soruları çözerken sembolleri (p, q, 1, 0) kağıda yazarak ilerlemek hata yapma riskinizi azaltır.