12. SINIF ALT ÖĞRENME ALANI, KONU, KAZANIM VE AÇIKLAMALARI
SAYILAR VE CEBİR
12.1. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
12.1.1. Üstel Fonksiyon
Terimler ve Kavramlar: üstel fonksiyon
Sembol ve Gösterimler: f(x) = a^x
12.1.1.1. Üstel fonksiyonu açıklar.
a) Üstel fonksiyonlara neden ihtiyaç duyulduğu vurgulanmalıdır.
b) Üslü ifadeler ve bunlarla yapılan işlemlerin özellikleri hatırlatılır.
c) Üstel fonksiyonların bire bir ve örten olduğu grafik yardımıyla gösterilir.
ç) a nın aldığı değerlere göre f(x) = a^x fonksiyonunun grafiğinin değişimini incelemek için bilgi ve iletişim teknolojilerinden de yararlanılır.
12.1.2. Logaritma Fonksiyonu
Terimler ve Kavramlar: logaritma fonksiyonu, doğal logaritma
Sembol ve Gösterimler: \log x, \log_a x, \ln x, e, e^x
12.1.2.1. Logaritma fonksiyonu ile üstel fonksiyonu ilişkilendirerek problemler çözer.
a) a \in \mathbb{R}^+ - {1} olmak üzere logaritma fonksiyonunun grafiği üstel fonksiyonun grafiğinden yararlanarak çizilir. y = a^x ve y = \log_a x fonksiyonlarının grafiklerinin y=x doğrusuna göre simetrik olduğu belirtilir.
b) a \in \mathbb{R}^+ - {1} olmak üzere f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}, f(x) = \log_a x logaritma fonksiyonunun a > 1 için artan fonksiyon, 0 < a < 1 için azalan fonksiyon olduğu verilir. a nın aldığı değerlere göre logaritma fonksiyonunun grafiğinin değişimini incelemek için bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.
c) Gelenbevi İsmail Efendi ve John Napier’in çalışmalarına yer verilir.
12.1.2.2. 10 ve e tabanında logaritma fonksiyonunu tanımlayarak problemler çözer.
e sayısının irrasyonel olduğu vurgulanarak matematikte ve diğer bilim dallarında kullanımından bahsedilir.
12.1.2.3. Logaritma fonksiyonunun özelliklerini kullanarak işlemler yapar.
12.1.3. Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler
Terimler ve Kavramlar: üstel denklem, logaritmik denklem
12.1.3.1. Üstel, logaritmik denklemlerin ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
12.1.3.2. Üstel ve logaritmik fonksiyonları gerçek hayat durumlarını modellemede kullanır.
a) Gerçek hayat durumlarından nüfus artışı, bakteri popülasyonu, radyoaktif maddelerin bozunumu (yarı ömür), fosil yaşlarının tayini, deprem şiddeti (Richter ölçeği), pH değeri, ses şiddeti (desibel) gibi örneklere yer verilir.
b) İsraf ve tasarruf kavramları hakkında farkındalık oluşturacak örneklere yer verilir.
c) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.
144
MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI
12.2. Diziler
12.2.1. Gerçek Sayı Dizileri
Terimler ve Kavramlar: dizi, sonlu dizi, sabit dizi, aritmetik dizi, geometrik dizi, Fibonacci dizisi
Sembol ve Gösterimler: (a_n), \Sigma, S_n
12.2.1.1. Dizi kavramını fonksiyon kavramıyla ilişkilendirerek açıklar.
Sonlu dizi, sabit dizi ve dizilerin eşitliği verilir.
12.2.1.2. Genel terimi veya indirgeme bağıntısı verilen bir sayı dizisinin terimlerini bulur.
12.2.1.3. Aritmetik ve geometrik dizilerin özelliklerini kullanarak işlemler yapar.
a) İlk n terim toplamı bulunur.
b) Toplam sembolü tanıtılır ancak özellikleri verilmez.
12.2.1.4. Diziler yardımıyla gerçek hayat durumları ile ilgili problemler çözer.
Aritmetik, geometrik ve Fibonacci dizilerine doğadan, çeşitli sanat dallarından örnekler verilir.
GEOMETRİ
12.3. Trigonometri
12.3.1. Toplam-Fark ve İki kat Açı Formülleri
12.3.1.1. İki açının ölçüleri toplamının ve farkının trigonometrik değerlerine ait formülleri oluşturarak işlemler yapar.
Dönüşüm ve ters dönüşüm formülleri verilmez.
12.3.1.2. İki kat açı formüllerini oluşturarak işlemler yapar.
12.3.2. Trigonometrik Denklemler
Terimler ve Kavramlar: trigonometrik denklem
12.3.2.1. Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulur.
a) a, b, c \in \mathbb{R} olmak üzere a \sin(x) + b \cos(x) = c biçimindeki trigonometrik denklemlerin kökleri buldurulur; a, b ve c katsayıları ile çözüm ilişkilendirilir.
b) Gerçek hayat problemlerine yer verilir.
c) El Battani’nin çalışmalarına yer verilir.
12.4. Dönüşümler
12.4.1. Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler
Terimler ve Kavramlar: dönüşüm, öteleme, dönme, dönme merkezi, dönme açısı, simetri, simetri merkezi, simetri ekseni
12.4.1.1. Analitik düzlemde koordinatları verilen bir noktanın öteleme, dönme ve simetri dönüşümleri altındaki görüntüsünün koordinatlarını bulur.
a) Öteleme, simetri ve dönme kavramları hatırlatılır.
145
MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI
b) Noktanın; noktaya, eksenlere, y=x doğrusuna, bir doğruya göre simetrileri ve doğrunun noktaya göre simetrileri vurgulanır. Doğrunun doğruya göre simetrilerine yer verilmez.
c) Bilgi ve iletişim teknolojileri yardımıyla öteleme, simetri ve dönme ele alınır.
12.4.1.2. Temel dönüşümler ve bileşkeleriyle ilgili problem çözer.
a) Modelleme çalışmalarına yer verilir.
b) Doğadan ve mimari eserlerden örneklendirme yapılır.
SAYILAR VE CEBİR
12.5. Türev
12.5.1. Limit ve Süreklilik
Terimler ve Kavramlar: bir noktada limit, sağdan limit, soldan limit, süreklilik
Sembol ve Gösterimler: \lim\_{x \to a^+} f(x), \lim\_{x \to a^-} f(x), \lim\_{x \to a} f(x)
12.5.1.1. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, soldan limit ve sağdan limit kavramlarını açıklar.
a) Limit kavramı bir bağımsız değişkenin verilen bir sayıya yaklaşmasından hareketle, tablo ve grafikler yardımıyla açıklanır.
b) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.
c) Cauchy’nin çalışmalarına yer verilir.
12.5.1.2. Limit ile ilgili özellikleri belirterek uygulamalar yapar.
a) Polinom, köklü, üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar içeren limit uygulamaları yapılır ancak sonucu \pm \infty olan limit durumlarına girilmez.
b) Sadece pay ve paydası çarpanlarına ayrılarak belirsizliğin kaldırılabileceği limit örneklerine yer verilir.
12.5.1.3. Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini açıklar.
a) Fonksiyonun grafiği üzerinde sürekli ve süreksiz olduğu noktalar buldurulur.
b) Limitin tarihsel gelişiminden ve Salih Zeki’nin bu alana katkılarından bahsedilir.
c) Bilgi ve iletişim teknolojileri yardımıyla süreklilik uygulamaları yaptırılır.
12.5.2. Anlık Değişim Oranı ve Türev
Terimler ve Kavramlar: anlık değişim oranı, teğetin eğimi, türev, sağdan türev, soldan türev
Sembol ve Gösterimler: f'(x), f''(x), \frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, f'(a^+), f'(a^-)
12.5.2.1. Türev kavramını açıklayarak işlemler yapar.
a) Anlık değişim oranı fizik ve geometri modellerinden yararlanılarak açıklanır.
b) Verilen bir fonksiyonun bir noktadaki türev değeri ile o noktadaki teğetinin eğimi arasındaki ilişki üzerinde durulur.
c) Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan türevi ve sağdan türevi ile türev arasındaki ilişki açıklanır.
146
MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI
ç) f(x) = c, f(x) = ax^n (a, c \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{Q}) şeklindeki fonksiyonlar için türev kuralları verilir. Bunun dışındaki fonksiyonların (kapalı ve parametrik fonksiyonlar dâhil) türev kurallarına yer verilmez.
d) Rolle’nin çalışmalarına yer verilir.
12.5.2.2. Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta türevlenebilirliğini değerlendirir.
a) Bir fonksiyonun bir noktada türevli olması için gerek ve yeter şartları inceler.
b) Fonksiyonun türevli olmadığı noktalarla grafiği arasında ilişki kurulur.
12.5.2.3. Türevlenebilen iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümünün türevine ait kurallar yardımıyla işlemler yapar.
12.5.2.4. İki fonksiyonun bileşkesinin türevine ait kuralı (zincir kuralı) oluşturularak türev hesabı yapar.
12.5.3. Türevin Uygulamaları
Terimler ve Kavramlar: kritik nokta, ekstremum nokta, mutlak maksimum, mutlak minimum, yerel maksimum, yerel minimum
12.5.3.1. Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları türev yardımıyla belirler.
12.5.3.2. Bir fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum, yerel maksimum, yerel minimum noktalarını belirler.
Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılarak grafik çizimine yer verilir ve yorumlanır.
12.5.3.3. Türevi yardımıyla bir fonksiyonun grafiğini çizer.
a) Grafik çizimleri polinom fonksiyonlarla sınırlandırılır.
b) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.
12.5.3.4. Maksimum ve minimum problemlerini türev yardımıyla çözer.
Gerçek hayat problemlerine yer verilir.
12.6. İntegral
12.6.1. Belirsiz İntegral
Terimler ve Kavramlar: ters türev, belirsiz integral, integral sabiti
Sembol ve Gösterimler: \int f(x)dx, c
12.6.1.1. Bir fonksiyonun belirsiz integralini açıklayarak integral alma kurallarını oluşturur.
a) Belirsiz integral alma kuralları n \neq -1 olmak üzere f(x) = ax^n (a, c \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{Q}) şeklindeki fonksiyonlarla sınırlandırılır.
b) Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının, iki fonksiyonun toplamının ve farkının integral alma kuralları verilerek uygulamalar yaptırılır.
12.6.1.2. Değişken değiştirme yoluyla integral alma işlemleri yapar.
147
MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI
12.6.2. Belirli İntegral ve Uygulamaları
Terimler ve Kavramlar: Riemann toplamı, belirli integral
Sembol ve Gösterimler: \int\_{a}^{b} f(x)dx
12.6.2.1. Bir fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanını Riemann toplamı yardımıyla yaklaşık olarak hesaplar.
a) Gerçek hayatta karşılaşılan ve değeri alan formülleriyle hesaplanamayan alanların, uygun toplamların limiti olarak ifade edilebileceği açıklanır.
b) Polinom fonksiyonlarla sınırlandırılır.
c) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.
12.6.2.2. Bir fonksiyonun belirli ve belirsiz integralleri arasındaki ilişkiyi açıklayarak işlemler yapar.
12.6.2.3. Belirli integralin özelliklerini kullanarak işlemler yapar.
Parçalı fonksiyonların belirli integraline yer verilir.
12.6.2.4. Belirli integral ile alan hesabı yapar.
a) İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı hesaplanır.
b) Gerçek hayat problemlerine yer verilir.
c) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.
GEOMETRİ
12.7. Analitik Geometri
12.7.1. Çemberin Analitik İncelenmesi
Terimler ve Kavramlar: çemberin genel denklemi, çemberin standart denklemi
Sembol ve Gösterimler: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
12.7.1.1. Merkezi ve yarıçapı verilen çemberin denklemini oluşturur.
a) M(a, b) merkezli ve r yarıçaplı çemberin standart denklemi (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 yardımıyla çemberin genel denklemi x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 şeklinde elde edilir.
b) Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 denkleminin hangi durumlarda çember oluşturduğu gösterilir.
c) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.
12.7.1.2. Denklemleri verilen doğru ile çemberin birbirine göre durumlarını belirleyerek işlemler yapar.
a) Doğru ile çemberin varsa kesişim noktaları bulunur.
b) Bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanılır.